Phương Pháp Hệ Số Bất Định

      30

Trong toán học đây là 1 phương pháp rất hay khi ta muốn tìm các hệ số của 1 biểu

thức.Sau đây ta đi tìm hiểu các ứng dụng “thần kì” của nó.


Bạn đang xem: Phương pháp hệ số bất định

*
12 trang
*
ngochoa2017
*
*
1492
*
2Download

Xem thêm: Cán Cân Thương Mại Việt Nam Trong Những Năm Qua, 5 Năm Thần Tốc Của Xuất Nhập Khẩu Việt Nam

Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Hệ số bất định và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 1 1.Phân tích đa thức thành nhân tử 2.Rút gọn biểu thức chứa căn 3.Đa thức phụ 4.Đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ 5.Biện luận phương có nghiệm duy nhất 6.Bất đẳng thức và cực trị Trong toán học đây là 1 phương pháp rất hay khi ta muốn tìm các hệ số của 1 biểu thức.Sau đây ta đi tìm hiểu các ứng dụng “thần kì” của nó. A.Cơ sở lý thuyết Cho P(x)= 2 30 1 2 3 .....nna a x a x a x a x    và Q(x)=2 30 1 2 3 .....nnb b x b x b x b x    P(x)=Q(x)↔0 01 1n na ba ba bDo đó khi P(x)=Q(x) thì ta có thể tìm được hệ số của P(x) nếu hệ số của Q(x) đã biết. B.Các ứng dụng I.Phân tích đa thức thành nhân tử 1.Hướng:Giả thiết đa thức phân tích được dưới dạng F(x)=G(x).Q(x) Rồi từ các hệ số của F(x) tìm hệ số của G(x),Q(x) sao cho chúng đơn giản nhất 2.Ví dụ:Phân tích đa thức F(x)= 4 3 23 6 5 3x x x x    thành nhân tử. Do hệ số 4x là 1 nên ta chọn F(x)=( 2 axx b  )( 2 xx c d  ) Khi đó ta có 4 3 2 4 3 23 6 5 3 ( ) ( ) ( )x x x x x a c x ac b d x ad bc x bd             Đồng nhất hệ số có 3653a cac b dad dcbd         Ta được1123abcd    →F(x)=( 2 1x x  )( 2 2 3x x  ) Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 2 Chú ý :-Việc tìm a,b,c,d là dựa trên cơ sở ta thử chọn các giá trị đó sao cho đơn giản nhất mà thỏa mãn hệ thức. -Viết trên chỉ là những bước làm nháp còn khi trình bày thì ta chỉ cần thay a,b,c,d và biến đổi theo cách nhóm thông thường. 3.Bài tập tương tự:Phân tích đa thức thành nhân tử: a/ 4 2 1x x  b/ 4 3 22 4 2 3x x x x    II.Giải phương trình bậc 4 Nhận thấy rằng ứng dụng 1 cũng chính là cơ sở để giải phương trình bậc 4.Tuy nhiên nếu làm theo cách đó thì việc thử hệ số rất khó.Do vậy theo ý tưởng của ferari ta có cách thực hiện sau: 1.Xét pt bậc 4 dạng đầy đủ : 4 3 2 0ax bx cx dx e     Ta đi thực hiện các bước sau: B1:-Khử hệ số bậc 4 và 3 bằng hằng đẳng thức 2 2 2 4 3 2 2( ) 2mx nx m x mnx n x    -Rồi đẩy các số hạng còn lại sang phải. B2: Cộng hai vế với 22( )4yy mx nx  Ta được vế trái là 1 bình phương. B3:Tìm y để vế phải cũng ghép được thành 1 bình phương.(ta sẽ phải giải phương trình bậc 3 đưa vào máy tính) 2.Thực nghiệm: Giải phương trình 4 3 22 8 5 0x x x x     Nháp: Biến đổi thành 2 2( ) 8 5x x x   Thêm vào 1 lượng thành 2 22 2 2 2( ) ( ) 8 5 ( )4 4y yx x y x x x y x x         Tìm y để 2 22 28 5 ( ) yx (8 ) 54 4y yx y x x y x         ghép được thành 1 bình phương ↔22( 8) 4 ( 5) 04yy y      Tách ra thành phương trình bậc 3 nhét vào máy tính ta có y=4. Lời giải: 4 3 24 3 2 2 22 2 22 8 5 02 4( ) 4 4 12 9( 2) (2 3)x x x xx x x x x x xx x x                (Bạn đọc tự giải quyết tiếp) III.Rút gọn biểu thức chứa căn 1.Hướng:Viết biểu thức trong căn về dạng nA rồi tìm các hệ số trong A 2.Một số dạng căn bản: - 2 2 2( )a b c a b c ac b    - 3 3 2 3 2( ) ( 3 ) 3a b c b ba ac c bca     Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 3 *Ví dụ :Bài 57(NCCĐ đại 9) Rút gọn 3 320 14 2 20 14 2   Lời giải bài này bạn có thể tham khảo giải nhưng làm theo hsbt với 20 14 2 có3 23 22 3 146 20a c ac ca    Chọn a=1 từ pt1 →c= 2 kết hợp 2 → c=2 → 320 14 2 (2 2)   Tương tự có 320 14 2 (2 3)   Nhắc lại : Việc chọn a=1 là thử chọn ngẫu nhiên nhưng tuân thao nguyên tắc đơn giản nhất va phải thỏa mãn hệ thức *Bài tập mở rộng Rút gọn 10 6 15 10   . (gợi ý: đưa biểu thức trong căn về dạng 2( 2 3 5)a b c  IV.Phương pháp đa thức phụ 1.Đầu tiên ta đi xét ví dụ: Cho đa thức f(x)= 4 3 2x ax bx cx d    .Và (1) (2) (3) ( 8) (12)10, 20, 30. ính P P P T P P    Lời giải : Xét đa thức Q(x)=P(x)-10x .Ta có (1) (1) 10 0Q P   (2) (2) 20 0Q P   (3) (3) 30 0Q P   →x=1,x=2,x=3 là ba nghiệm của Q(x).Do degQ(x)=degP(x) nên ta có Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a) →P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a)+10x →P(12)+ P(-8)=19840 2.Nhận xét:Ta thấy khó nhất ở bài toán trên là việc tìm ra Q(x) mà thỏa mãn Q(n)=0.Tuy nhiên dưới con mắt HSBĐ ta thấy tìm Q(x) như sau: B1:Đặt Q(x)=P(x)-h(x).Trong đó h(x) là đa thức thỏa mãn : Degh(x)0(các bạn hãy thử tự giải thích) 4.Một số bài tập ứng dụng Cho đa thức f(x)= 3 2ax bx cx d   . a/Cho(1999)(2000)20012001ff CM:A= (2001) (1998)f f là hợp số. b/Cho(0)(1)(2)(3)291932ffff  Tìm f(x) Chắc hẳn khi đọc đến đây các bạn đã phần nào hiểu được cơ chế làm việc của HSBĐ.Các ứng dụng sau tôi sẽ chỉ nêu phương pháp còn việc cảm nhận nó theo hệ số bất định là việc của các bạn V.Đặt ẩn phụ để giải phương trình 1.Phương trình vô tỉ dạng 2ax b mx nx p    ^-^PP:Đặt ax b cy d   → 2 22 0cy cdy ax d b     (1) Thay ẩn phụ vào phương trình ta lại có 2 0mx nx cy p d     (2) Chọn c,d sao cho 22c cd a bm n y d bc cd a bm n y d b      (*) Chú ý: tỉ lệ cuối có thể không xét nếu nó bằng 1 Khi đó (1) và (2) tạo thành hệ đối xứng *Thực nghiệm kiểm tra GPT: 2 4 3 5x x x    Nháp Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 5 Thay các hệ số vào có2 22 21 4 32 1 51 4 32 1 5c dc cd dc dc cd d         → chọn c=1,d=2 Bài giải Đặt 5 2(2 )x y y    .Ta có hệ pt 224 1 04 1 0x y xy x y        →3 0x yx y   (bạn đọc tự giải quyết tiếp) *Mở rộng :Hướng làm này còn đúng với pt dạng 3 33 ax b mx nx px e     2. Phương trình vô tỉ dạng 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3a x b x c a x b x c a x b x c        *PP: *Ứng dụng: GPT 2 22 2 1 3 4 1x x x x x      Nháp Thay vào hệ có 113nmLời giải: Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 6 Chúng ta còn có thêm 1 dạng nữa các bạn hãy thử nghiên cứu Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 7 Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 8 Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 9 VI.Biện luận phương có nghiệm duy nhất 1.Xét 1 ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 4 4 2 2x x x x m      (1) Nhận xét : (1) có nghiệm là x thì cũng có nghiệm là 2-x(không tin bạn thử mà xem) →để pt có nghiện duy nhất thì x=2-x →x=1→m=4. Thay m=4 rồi dùng AM-GM sẽ cm được (1) có nghiệm duy nhất là 1 →Ta thấy tìm 2 nghiệm có quan hệ với nhau cùng là nghiệm của (1) là bước khó nhất 2.PP: GS pt có nghiệm là x thì có nghiệm là ax+b rồi tìm a và b. Tìm tham số rồi thử tham số đó vào pt ban đầu cm nó có nghiệm duy nhất. 3.Thực nghiệm: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 4 5x x m    (1) Nháp x là nghiệm của (1) thì 4 5x x m    ax+b là nghiệm của (1) thì 4 5ax b ax b m      Để pt có nghiệm là x thì có nghiệm là ax+b thì 4 55 4ax b xax b x       → 11ab  (lời giải chi tiết dành cho bạn đọc) VII.Bất đẳng thức và cực trị Hướng 1:Chỉ ra giá trị của cực trị rồi tìm nó. Bài yêu cầu tìm GTNN của A ta chỉ ra B là min rồi đi tìm B thỏa mãn 0A B  (tương tự với GTLN) *Một số ví dụ Tìm GTLN 2( ) 1 14xf x x x      Nháp 2 24 2 42 2 2 21 1 0 1 14 442 1 ( 2 1 ) 016 2 16 2x xx x B x x Bx Bx x Bx B x B xB                           Trần Trung Hiếu(Học sinh trường THCS Chu Mạnh Trinh) 10 Nhận thấy nếu 2 242 1x B xB   (#) viết được dưới dạng tổng 1 bình phương thì rất đẹp.Để làm được điều đó ta đặt 21 x y  rồi viết lại (#) theo y và B tìm B để pt mới có nghiệm kép .Ta tìm được B=2 Lời giải Đk:-1≤x≤1 Có222 2222 1 142 2 116(1 1 ) 0( )16xx xxx xxx ld             →Max f(x)=2↔x=0 VD2.Cho 1a  .Tìm max f(x)= 23 7 22a a a    *Cực trị dạng22axmxbx cnx p   với 2mx nx p  đã xác định dấu -PP giải: Xét B=2 22 2ax ( ) ( )mx mxbx c a mA x b nA c pAAnx p nx p          Tìm A sao cho tử của B có nghiệm képtức 20(